domů / věda / matematika / Jak řešit diferenciální lineární rovnice

Jak řešit diferenciální lineární rovnice

/
72 pohledy

Jak řešit diferenciální lineární rovnice</a>

Diferenciální rovnice, ve kterém neznámá funkce a jeho derivát zahrnuje lineární, to znamená, že první stupeň, který se nazývá lineární diferenciální rovnice prvního řádu.

instrukce

    1

Obecný pohled prvního řádu lineární diferenciální rovnice:

y? + P (x) * y = f (x),

kde y - neznámá funkce a p (x) a f (x) -Některé uvedené funkce. Jsou považovány za spojité v oblasti, ve které chcete integrovat rovnice. Zejména mohou být konstanty.

    2

Pokud f (x)? 0, pak rovnice se nazývá odnorodnym- pokud ne - pak se, v uvedeném pořadí, nehomogenní.

    3

Lineární homogenní rovnice může být řešen separace proměnných. Jeho obecný tvar: y? + P (x) * y = 0, tedy:

dy / dx = -p (x) * y, což znamená, že dy / y = -p (x) dx.

    4

Integrace obou stranách výsledné rovnice, dostaneme:

? (Dy / y) = -? P (x) dx, to znamená, že ln (y) = -? P (x) dx + ln (C), nebo y = C * e ^ (- P (x) dx) ).

    5

Řešení nehomogenní lineární rovnice může býtodstoupit od roztoků odpovídající homogenní, to znamená, že stejné rovnice s pravou stranou pokleslou f (x). K tomu, nahradit konstantní C v roztoku homogenní rovnice neznámé funkce? (X). Potom se roztok nehomogenní rovnice budou prezentovány ve formě:

? Y = (x) * e ^ (- P (x) dx)).

    6

Rozlišení tohoto výrazu, vidíme, že derivát y je:

y? = ?? (x) * e ^ (- P (x) dx) -? (X) * p (x) * e ^ (- P (x) dx).

Dosazením výrazů pro y a y? do původní rovnice a zjednodušení snadno získat dospěla k výsledku:

d? / dx = f (x) * e ^ (? p (x) dx).

    7

Po integraci obou stranách ní dostane druh:

? (X) =? (F (x) * e ^ (P (x) dx)) dx + C1.

To znamená, že neznámá funkce y je vyjádřena jako:

y = e ^ (? - p (x) dx) * (C + f (x) * e ^ (p (x) dx) ??) dx).

    8

Pokud budeme srovnávat konstantní C na nulu, pak výraz pro y mohou získat konkrétní řešení dané rovnice:

y1 = (e ^ (? - p (x) dx)) * (f (x) * e ^ (p (x) dx) ??) dx).

Poté, kompletní řešení, lze vyjádřit jako:

y = y1 + C * e ^ (? - p (x) dx)).

    9

Jinými slovy, kompletní řešení lineárníhonehomogenní diferenciální rovnice prvního řádu je roven součtu jejich konkrétní řešení a obecné roztoku odpovídající homogenní lineární rovnice prvního řádu.

Jak řešit diferenciální lineární rovnice To byl naposledy změněn: 21.června 2017 podle vashuorm
Je to hlavní vnitřní nádoba text zápatí